Question

如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)已知sin A＝，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析 （2）6－π

【解析】

(1)证明：连接OE.∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB，

∵BE是△ABC角平分线，

∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，

∴OE∥BC.

∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°，

∴AC是⊙O的切线．

(2)【解析】
连接OF.

∴sin A＝，∴∠A＝30°.

∵⊙O的半径为4，∴AO＝2OE＝8，

∴AE＝4，∠AOE＝60°，∴AB＝12，

∴BC＝AB＝6，AC＝6，

∴CE＝AC－AE＝2.

∴OB＝OF，∠ABC＝60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB＝60°，CF＝6－4＝2，∴∠EOF＝60°.

∴S梯形OECF＝×(2＋4)×2＝6.

S扇形EOF＝＝π.

∴S阴影部分＝S梯形OECF－S扇形EOF＝6－π.