Question

如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.

(1)求证：直线BD与⊙O相切；

(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．

Answer

（1）见解析 （2）5

【解析】

(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90°

∴∠ODA＋∠CDB＝90°，

∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD与⊙O相切．

(2)【解析】
连接DE，∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴DE∥BC.

又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.

∴△AED∽△ABC.

∴AC∶AB＝AD∶AE.

∵AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.

∵BC＝6，∴AB＝10，

∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.