Question

(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接DE′.

求证：DE′＝DE.

(2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC(0°＜∠CBE＜∠45°)．

求证：DE²＝AD²＋EC².

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

(1)证明：∵∠DBE＝∠ABC，

∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，

∵△ABE′由△CBE旋转而成，

∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE，

∴∠DBE′＝∠DBE，

在△DBE与△DBE′中，

∵BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′

BD＝BD

∴△DBE≌△DBE′(SAS)，∴DE′＝DE.

(2)如图所示：把△CBE旋转90°，

连接DE′，

∵BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCE＝45°，

∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，

∴AE′＝EC，

∴∠E′AB＝∠BCE＝45°，

∴∠DAE′＝90°，

在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2＋AD2，

∵AE′＝EC，

∴DE′2＝EC2＋AD2

同(1)可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2＋EC2.