Question

如图，直线y=与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点是劣弧AO上一动点（点与不重合）．抛物线y=－经过点A、C，与x轴交于另一点B，

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与⊙M相切，并请说明理由．

Answer

（1） B(1，0)

（2）P(-1,)

（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．证明见解析

【解析】

试题分析：（1）先求出A、C点坐标，再代入y=－即可求出b、c的值，从而确定抛物线的解析式，由于点A、B关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点B的坐标.

（2）连接BC并延长交抛物线对称轴于一点，这一点就是点P.

（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．

试题解析：（1）【解析】
由 得A（-3，0），C（0， ）

将其代入抛物线解析式得： 解得：

∴

∵对称轴是x=-1

∴由对称性得B(1，0)

（2）【解析】
延长BC与对称轴的交点就是点P

由B(1，0)，C（0，）求得直线BC解析式为：

当x=-1时，y=

∴P(-1, )

（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切．

证明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，

∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，

∵点D是劣弧AO的中点，

∴弧AD=弧OD

∴∠ACD=∠DCO=30°，

∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，

∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，

∵FG=2，

∴△AFG为等边三角形，

∴∠GAF=60°，

∴∠CAG=30°+60°=90°，

∴AC⊥AG，

∴AG为⊙M的切线．

考点: 1. 二次函数综合题；2.直线与圆的位置关系.