Question

如图(1)，直线与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB＞CD)，且等腰梯形的面积是8，抛物线经过等腰梯形的四个顶点.

图(1)

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图（2）若点P为BC上的—个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与轴的另一个交点为E，作EF⊥AD，垂足为F，请判断EF与⊙P的位置关系，并给以证明；

图（2）

(3) 在（2）的条件下，是否存在点P，使⊙P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）EF与⊙P相切.，证明见解析；(3) 存在， x=，P(，)．

【解析】

试题分析：（1）过C作CE⊥AB于E，利用矩形的性质分别求得三点的坐标，利用求得的点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式即可；

（2）连结PE，可以得到：PE∥DA，从而得出EF与⊙P相切；

（3）设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，设Q(x,0),用含有x的代数式分别表示出PG和PB，再根据PG=PB求出x的值即可．

试题解析：(1) ∵，当x=0时， y=；当y=0时，x=-2，

∴A(-2,0)，D，

∵ABCD为等腰梯形，

∴AD=BC，∠OAD=∠OBC

过点C作CH⊥AB于点H，则AO=BH，OH=DC.

∵ABCD的面积是，

∴8=，

∴DC=2，

∴C(2, )，B（4,0），

设抛物线解析式为（），代入A(-2,0)，D，B（4,0）

得，

解得，

即；

（2）连结PE，∵PE=PB，

∴∠PBE=∠PEB，

∵∠PBE=∠DAB，

∴∠DAB=∠PBE，

∴PE∥DA，

∵EF⊥AD，

∴∠FEP=∠AFF=90°，

又PE为半径，EF与⊙P相切.；

(3)设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，

设Q(x,0),则QB=4-x，

∵∠PBA=∠DAO，，

∴∠PBA=∠DAO=60°，

∴PQ=， PB=8-2x ，P(x, ),

∵⊙P与y轴相切于点G，⊙P过点B，

∴PG=PB，

∴x=8-2x，

∴x=，P(，)．

考点：二次函数综合题．