Question

如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点， 将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．

（1）写出C点的坐标为           ;

（2）设过A，D，C三点的抛物线的解析式为，求其解析式?

（3）证明AB⊥BE．

Answer

（1）C（2，0），D（0，6）；（2）y=﹣x2﹣2x+6；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；

（2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；

（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．

试题解析：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，

∴△ODC≌△OAB，

∴OC=OB=2，OD=OA=6，

∴C（2，0），D（0，6）；

（2）∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），

∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），

∵D（0，6）在抛物线上，

∴6=﹣12a，

解得a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x2﹣2x+6；

（3）∵y=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，

∴顶点E的坐标为（﹣2，8），

连接AE．

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），

∴AB2=62+22=40，BE2=（﹣2﹣0）2+（8﹣2）2=40，AE2=（﹣2+6）2+（8﹣0）2=80，

∴AB2+BE2=AE2，

∴AB⊥BE．．

考点：二次函数综合题．