Question

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．

（1）求证：△BEF是等边三角形；

（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BF=2.

【解析】

试题分析：（1）根据三角形ABC是等边三角形，得到∠BCA=∠BAC=60°，再根据圆周角定理的推论得到∠BFE=∠BCA=60°．根据两条平行弦所夹的弧相等证明弧DE=弧CF，从而得到∠EBD=∠CBF，∠EBF=∠ABC=60°，从而证明结论；

（2）结合等边三角形的边相等，尽量能够把已知的线段和未知的线段放到两个相似三角形中，进行求解．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BCA=∠BAC=60°，

∵DF∥AC，

∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°，

又∵∠BFE=∠BCA=60°，

∴△BEF是等边三角形．

（2）【解析】
∵∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠FBG=∠ABE，

又∠BFG=∠BAE=120°，

∴△BFG∽△BAE，

∴ ，

又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，

∴BF2=AB•BG=24，

可得BF=2（舍去负值）．

考点：1.等边三角形的判定；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质．