Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．

（1）求证：≌．

（2）把向左平移，使与重合，得，交于点．请判断AH与ED的位置关系，并说明理由.

（3）求的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AH⊥ED．（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根据SAS即可证出答案；

（2）AH⊥ED，根据正方形的性质和平移的性质可证明△ADE≌△CDF，所以得到∠EDF=90°．再由已知条件AH∥DF，利用平行线的性质可证明∠EGH=90°，即垂直成立．

（3）利用勾股定理求出DE的长，再根据三角形的面积公式表示出△EAD的面积即AE•AD或ED•AG，由已知数据即可求出AG的长．

试题解析：（1）证明：∵正方形ABCD，

∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，

∴∠DCF=90°=∠DAE，

∵CF=AE，

∴△ADE≌△CDF．

（2）证明：∵正方形ABCD，

∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，

∵E为AB中点，H为BC的中点，

∴AE=BH，

∴△DAE≌△ABH，

∴∠EDA=∠BAH，

∵∠AED+∠ADE=90°，

∴∠AED+∠BAH=90°，

∴∠AGE=180°-90°=90°，

∴AH⊥ED．

（3）在△EAD中，由勾股定理得：DE=，

由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，

∴1×2=×AG，

∴AG=.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理．