Question

如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）求证：△ACM∽△DCN；

（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BN=．

【解析】

试题分析：（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；

（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可．

（1）证明：∵△BCO中，BO=CO，

∴∠B=∠BCO，

在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BCO=90°，

即∠FCO=90°，

∴CF是⊙O的切线；

（2）证明：如图，∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=∠FCO=90°，

∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO，

即∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∵∠4=∠D，

∴△ACM∽△DCN；

（3）【解析】
∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，cos∠BOC=，

∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：

，

，

∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，

∴由垂径定理得：CD=2CE=2，

∵△ACM∽△DCN，

∴ ，

∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，

∴CN=，

∴BN=BC-CN=2-=．

考点：圆的综合题．