Question

（1）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.

求证：四边形BECF是平行四边形.

（2）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E。

①求证：⊿ADE∽⊿BCE；

②如果AD²=AE·AC，求证：CD=CB

Answer

1.证明见解析；2.（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：(1) 通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．

(2) （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；

（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．

试题解析：(1) ∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠D，

在△AEB与△DFC中，

，

∴△AEB≌△DFC（ASA），

∴BE=CF．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CF．

∴四边形BECF是平行四边形．

(2) （1）如图，

∵∠A与∠B是对的圆周角，

∴∠A=∠B，

又∵∠1=∠2，

∴△ADE∽△BCE；

（2）如图，

∵AD2=AE•AC，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠AED=∠ADC，

又∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

即∠AED=90°，

∴直径AC⊥BD，

∴，

∴CD=CB．

考点：1.平行四边形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.圆周角定理；4.相似三角形的判定与性质．