Question

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁．设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、 B₁的坐标分别为 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代数式表示x₂－x₁，并求出当S=36时点A₁的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer

（1）对称轴：直线x=1，解析式：y=x2-x，顶点坐标：M（1，-）．(2) A1（6，3）．(3) t=.

【解析】

试题分析：（1）已知了O、A、B的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得到其对称轴方程和顶点M的坐标．

（2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y2-y1=3，可根据抛物线的解析式，用x1、x2表示出y1、y2，然后联立y2-y1=3，可得到第一个关于x1、x2的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，可用x1、x2以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长，进而可得到梯形面积的表达式，这样可得到另外一个x1、x2的关系式②，联立两个关系式，即可得到关于（x2-x1）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x1、x2的值，进而可求出A点的坐标．

（3）要解答此题，首先要弄清几个关键点：

一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=；

二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3；可分两种情况讨论：

①当0＜t＜时，设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值；

②当＜t＜3 时，方法同①；

在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去．

试题解析：：（1）对称轴：直线x=1，

解析式：y=x2-x，

顶点坐标：M（1，-）．

（2）由题意得y2-y1=3，y2-y1=x22-x2-x12+x1=3，

得：（x2-x1）[（x2+x1）-]=3①，

s==3（x1+x2）-6，

得：x1+x2=+2②，

把②代入①并整理得：x2-x1=（S＞0），

当s=36时，，

解得：，

把x1=6代入抛物线解析式得y1=3，

∴点A1（6，3）．

（3）存在

易知直线AB的解析式为y=x-，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，-），

∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，

当PQ∥AB时，，即，

得t=，

下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G；

当0＜t＜时，如图1-1；

∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，

∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，

∴，

∴，

得t=＞，

∴t=（舍去）；

当＜t＜3时，如图1-2；

∵△FQE∽△FAG，

∴∠FAG=∠FQE，

∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，

∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，

∴

∴，

∴t=；

∴当t=秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．

考点：二次函数综合题．