Question

如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．

（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．

（2）引申：如果∠C90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____度时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.

【解析】

试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；

（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=BC•AP，S△DFC=FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；

（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3××3×4=18．

试题解析：（1）证明：在△ABC与△DFC中，

∵，

∴△ABC≌△DFC．

∴△ABC与△DFC的面积相等；

（2）【解析】
成立．理由如下：

如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，

∴∠ACP=∠DCQ．

∴，

△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

又∵S△ABC=BC•AP，S△DFC=FC•DQ，

∴S△ABC=S△DFC；    

（3）【解析】
根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，

若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，

∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．

∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3××3×4=18．

考点：四边形综合题．