Question

如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，−）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为：；

（2）P（2，-）；

(3)存在，符合条件的点N的坐标为（4，-），（2+，）或（2-，）.

【解析】

试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，−）三点代入求出a、b、c的值即可；

（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；

（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（-1，0），B（5，0），C（0，−）三点在抛物线上，

∴，

解得 ．

∴抛物线的解析式为：；

（2）∵抛物线的解析式为：，

∴其对称轴为直线，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，-），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直线BC的解析式为，

当x=2时，y=1-=-，

∴P（2，-）；

（3）存在．

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，；

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-），∴N1（4，-）

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，

在△AN2D与△M2CO中，

，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．

∴，

解得x=2+或x=2-，

∴N2（2+，），N3（2-，）．

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-），（2+，）或（2-，）．

考点：二次函数综合题．