Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=．

【解析】

试题分析：（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；

（2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线；

（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10，CD=BC=5；又∠C=60°，借助三角函数的定义，可得答案．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°；

∵BD=CD，

∴AD是BC的垂直平分线．

∴AB=AC．

（2）证明：如图，连接OD，

∵点O、D分别是AB、BC的中点，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE为⊙O的切线．

（3）【解析】
由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，

∵⊙O的半径为5，

∴AB=BC=10，CD=BC=5．

∵∠C=60°，

∴DE=CD•sin60°=．

考点：切线的判定；圆周角定理．