Question

在图1至图4中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE和AD在同一直线上．

操作示例：

当AE＜a时，如图1，在BA上选取适当的点G，BG=b,连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置，恰能构成四边形FGCH．

思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，

实践探究：

（1）小明判断出四边形FGCH是正方形，请你给出判断四边形FGCH是正方形的方法。

（2）经测量，小明发现图1中BG是AE一半，请你证明小明的发现是正确的。（提示：过点F作FM⊥AH,垂足为点M）；

拓展延伸

类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图

Answer

（1）方法见解析；（2）证明见解析；（3）拼图见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质得出两三角形全等，求出三角形FGH是等腰直角三角形，并推出四个角是直角，根据正方形的判定推出即可；

（2）过点F作FM⊥AH，垂足为点M，求出ME=AE，证Rt△FMH≌Rt△HDC，推出MH=DC，即可得出答案；

拓展延伸：根据各个图形的特点，结合正方形的判定画出即可．

试题解析：（1）如图，连接GH，

∵△FEH是由△FAG绕点F逆时针旋转90°得到的，

∴△FGH是等腰直角三角形

∴FG=FH，∠FGH=∠FHG=45°，

同理：∠CGH=∠CHG=45°，

∴∠FGC=∠FHC=90°，

∴四边形FGCH是正方形；

（2）如图，过点F作FM⊥AH，垂足为点M，

∴∠FMH=90°

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴ME=AE，

∵∠FHM+∠HFM=90°，

∴∠FHM+∠CHD=90°

∴∠HFM=∠CHD，

∵四边形ABCD和四边形FGCH都是正方形，

∴FH=HC，∠FMH=∠CDH=90°，

在△FMH和△HDC中

∴Rt△FMH≌Rt△HDC，

∴MH=DC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=AB

∵ME=MH-EH，

∴BG=AB-AG，

∵△FEH是由△FAG绕点F逆时针旋转90°得到的，

∴AG=EH，

∴BG=ME=AE；

拓展延伸：

考点：四边形综合题．