Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G、F.

(1)求证：GE=GF

(2)若BD=1，求DF的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件易证明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，则DE=AF，从而进一步证明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；

（2）根据直角三角形的性质可以得到CE=AC，则CE=CD，即AB是CE的垂直平分线，则BC=BD=1．再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则AE=AB-BE，结合（1）中的全等三角形，知DF=AE．

（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，

∴∠CFD=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠AEC=90°．

在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，

∴Rt△AEC≌Rt△DFC．

∴CE=CF．

∴DE=AF．

而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，

∴Rt△AFG≌Rt△DEG．

∴GF=GE．

（2）【解析】
∵CD⊥AB，∠A=30°，

∴CE=AC=CD．

∴CE=ED．

∴BC=BD=1．

又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，

∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，

∴BE=BC=BD=．

在直角三角形ABC中，∠A=30°，

则AB=2BC=2．

则AE=AB-BE=．

∵Rt△AEC≌Rt△DFC，

∴DF=AE=．

考点：1.勾股定理；2.直角三角形全等的判定．