Question

已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．

（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；

（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，令，解出即可求得用含m的代数式表示的A、B两点坐标.

（2）根据等腰三角形的性质，，列式求出m的值即可求得抛物线的解析式.

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标，应用待定系数法，将交点坐标分别代入一次函数解析式即可求解.

试题解析：（1）令，有．

∴． ∴．

∴，．

∵点B在点A的右侧，∴，．

（2）∵点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，

∴．∴．∴．

令，有．∴．

∵是等腰三角形，且∠BOC =90°，

∴，即．

∴，解得（舍去）．

∴．

∴抛物线的解析式为．

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，

由此可得交点坐标为和．

将交点坐标分别代入一次函数解析式中，

得 ， 解得 .

∴一次函数的解析式为．

考点：1.二次函数综合题；2.动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.等腰三角形的性质；6.数形结合思想的应用.