Question

如图，AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，交AB于点F．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求DF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用等腰三角形的性质以及切线的判定进而得出即可.

（2）利用等腰三角形的性质得出∠FOE=∠B=30°，进而得出FO的长，再利用勾股定理得出DF的长即可．

试题解析：（1）如图，连接CO，

∵AO=BO，CA=CB，∴CO⊥AB.

∵CO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.

（2）如图，连接FO，

∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，∴AO=4，∠B=30°.

∵⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，

∴FE⊥BO，OE=BE=2. ∴FO=FB. ∴∠FOE=∠B=30°.

∴，解得：.

∵∠A=∠B=∠BOF=30°，∴∠AOF=90°.

∴.

考点：1.切线的判定和性质；2等腰三角形的性质；3.勾股定理.