Question

已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．

（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）

（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer

（1）分析即可；

（2）图2的结论为: ME= (BD+CF)；图3的结论为: ME= (CF-BD)；证明见解析；

【解析】

试题分析：（1）根据垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可；

（2）由题意得出图2的结论为：ME= （BD+CF），图3的结论为：ME= （CF﹣BD），进而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案．

试题解析：（2）图2的结论为: ME= (BD+CF)

图3的结论为: ME= (CF-BD)

图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K

又∵BD⊥m,CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠DBM=∠KCM

又∵∠DMB=∠CMK

BM=MC

∴△DBM≌△KCM

∴DB=CK DM=MK

由易证知:EM=FK

∴ ME= (CF+CK)= (CF+DB)

图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K

又∵BD⊥m,CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠MBD=∠KCM

又∵∠DMB=∠CMK

BM=MC

∴△DBM≌△KCM

∴DB=CK DM=MK

由易证知:EM=FK

∴ME= (CF-CK)=(CF-DB)

考点：1、旋转的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、梯形中位线定理．