Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，4），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AO交AB于点E．

（1）求直线AB的解析式；

（2）设△PEQ的面积为S，求S与t时间的函数关系，并指出自变量t的取值范围；

（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．

Answer

（1）直线AB的解析式为y=﹣2x+4．

（2）当0＜t＜2时，S=﹣t2+t（0＜t＜2），

当2＜t≤4时，S=t2﹣t（2＜t≤4）．

（3）t1=，H1 （，），

t2=20﹣8，H2（10﹣4，4）．

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法即可得到；

（2）过点Q作QF//x轴交y轴于点F，有两种情况：当0＜t＜2时，PF=4﹣2t，当2＜t≤4时，PF=2t﹣4，然后根据面积公式即可求得；

（3）由菱形的邻边相等即可得到．

试题解析：（1）∵C（2，4），

∴A（0，4），B（2，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴，

解得

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+4．

（2）如图2，过点Q作QF⊥y轴于F，

∵PE//OB，

∴

∴有AP=BQ=t，PE=t，AF=CQ=4﹣t，

当0＜t＜2时，PF=4﹣2t，

∴S=PE•PF=×t（4﹣2t）=t﹣t2，

即S=﹣t2+t（0＜t＜2），

当2＜t≤4时，PF=2t﹣4，

∴S=PE•PF=×t（2t﹣4）=t2﹣t（2＜t≤4）．

（3）t1=，H1 （，），

t2=20﹣8，H2（10﹣4，4）．

考点：1、待定系数法；2、三角形的面积；3、菱形的性质