Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x²﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．

（1）求点A，C的坐标；

（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；

（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（12，0），C（﹣6，0）；

（2）k=36；

（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；

【解析】

试题分析：（1）先求出一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根就可以求出OA，OC的值，进而求出点A，C的坐标；

（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如图1，作EM⊥x轴于点M，由相似三角形的现在就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐标，由待定系数法就可以求出结论；

（3）如图2，分别过C、E作CE的垂线交坐标轴三个点P1、P3、P4，可作出三个Q点，过E点作x轴的垂线与x轴交与P2，即可作出Q2，以CE为直径作圆交于y轴两个点P5、P6，使PC⊥PE，即可作出Q5、Q6．

试题解析：（1）∵x2﹣18x+72=0

∴x1=6，x2=12．

∵OA＞OC，

∴OA=12，OC=6．

∴A（12，0），C（﹣6，0）；

（2）∵tan∠ABO=，

∴=，

∴，

∴OB=16．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB=．

∵BE=5，

∴AE=15．

如图1，作EM⊥x轴于点M，

∴EM∥OB．

∴△AEM∽△ABO，

∴，

∴，

∴EM=12，AM=9，

∴OM=12﹣9=3．

∴E（3，12）．

∴k=3×12=36；

（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示，

x轴的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；

考点：1、一次函数的交点；2、勾股定理的运用；3、三角函数；4、三角形相似