Question

如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．

（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；

（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）

（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S_△ABC=4，则BE=　  　，CD=　    ．

Answer

（1）证明见解析

（2）（2）如图②，CF+CD=BE，如图3，CF﹣CD=BE；

（3）如图②图③，BE=8，CD=4或8．

【解析】

试题分析：（1）通过△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，通过证四边形BCFM是平行四边形可以得出BM=CF，从而证得CF+BE=CD；

（2）作FM∥BC，得到四边形BCFM是平行四边形，再通过证得△MEF≌△CDA即可求得，

（3）由△ABC的面积可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，图②CD=4图3CD=8，

试题解析：（1）如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，

∵CF∥AB，

∴四边形BMFC是平行四边形，

∴BC=MF，CF=BM，

∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，

∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，

∵∠ADN=60°，

∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，

∴∠BDE=∠DAC，

∴∠MFE=∠DAC，

∴△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB+BM，

∴CD=BE+CF．

（2）如图②，CF+CD=BE，如图3，CF﹣CD=BE；

（3）如图②图③，BE=8，CD=4或8．

考点：1、全等三角形的判定与性质；2、等边三角形的性质；3、平行四边形的判定和性质；4、30°角所对的直角边等于斜边的一半等．