Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．

（1）求证：△ABC为等腰三角形；

（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）见解析；（2）2MH=FM+CD．见解析

【解析】

试题分析：（1）由等式的性质，可得∠APE=∠ADE，由等腰三角形的性质，可得∠PAD=2β，由直角三角形的性质，可得∠AEB+∠CBE=90°，由等式的性质，可得∠ABC=∠ACB，再由等腰三角形的判定，可得答案；

（2）由相似三角形的判定与性质，可得∠ABE=∠ACD，由等腰三角形的性质，可得∠GND=∠GDN，由对顶角的性质，可得∠AGF的度数，由三角形外角的性质，∠AFG的度数，由直角三角形的性质，可得BF与MH的关系，由等腰三角形的性质，可得∠FRM=∠FMR，由平行线的判定与性质，可得∠CBD=∠RMB，由相似三角形的判定与性质，可得，由线段的和差，可得BR=BF﹣FR，再由等量代换，可得答案．

试题解析：（1）如图1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，

设∠CBD=α，∠CAD=β，

∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，

∴∠APE=∠ADE，AP=AD．

∵AC⊥BD

∴∠PAE=∠DAE=β，

∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．

∵∠BAD=3∠CBD，

∴3β=3α，β=α．

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β．

∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β，

∴∠ACB=∠ABC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）2MH=FM+CD．

如图2，

由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，

∴△ABP∽△ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵AC⊥BD，

∴∠GDN=90°﹣β，

∵GN=GD，

∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，

∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β．

∴∠AGF=∠NGD=2β．

∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β．

∵FN平分∠BFM，

∴∠NFM=∠AFG=β，

∴FM∥AE，

∴∠FMN=90°．

∵H为BF的中点，

∴BF=2MH．

在FB上截取FR=FM，连接RM，

∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β．

∵∠ABC=90°﹣β，

∴∠FRM=∠ABC，

∴RM∥BC，

∴∠CBD=∠RMB．

∵∠CAD=∠CBD=β，

∴∠RMB=∠CAD．

∵∠RBM=∠ACD，

∴△RMB∽△DAC，

∴，

∴BR=CD．

∵BR=BF﹣FR，

∴FB﹣FM=BR=CD，

FB=FM+CD．

∴2MH=FM+CD．

考点：1、等腰三角形的性质与判定；2、直角三角形的性质；3、相似三角形的判定与性质；4、直角三角形的性质