Question

如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．

（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；

（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；

（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

       

图①                                   图②

Answer

（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；

（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；

当m=-时，最大值L=9；

（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．

【解析】

试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；

（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；

（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．

试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）

抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，

,

∴，

所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,

所以，顶点坐标为C（-1,4）．

（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．

因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．

DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．

由题意可知，AO=BO,

∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，

∴DE=EF．

L=4DE=-4m2-12m．

L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．

∵a=-4<0,

∴二次函数有最大值

当m=-时，最大值L=9．

（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．

考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．