Question

如图，抛物线y=ax²+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM=t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；

②求S与t的函数关系式；

（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．

Answer

（1）y=-x2+x+2；（2）2，S=t2；（3），．

【解析】

试题分析：（1）应用待定系数法即可求得解析式．

（2）①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM，从而求得OM=AM=，进而求得t的值；②根据平行线分线段成比例定理求得ON=，即可求得三角形的面积S=t2；

（3）根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x，设O′（m，2m），根据O′N=t先求得m与t的关系式，然后根据O′C=OB即可求得．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（-1，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式：y=-x2+x+2；

（2）①如图1，

∵MN∥AC，

∴∠OMN=∠O′AM，∠O′MN=AO′M

∵∠OMN=∠O′MN，

∴∠AO′M=∠O′AM，

∴O′M=AM，

∵OM=O′M，

∴OM=AM=t，

∴t=；

②由抛物线的解析式：y=-x2+x+2可知C（0，2）

∵A（4，0）、C（0，2），

∴OA=4，OC=2，

∵MN∥AC，

∴ON：OM=OC：OA=2：4=1：2，

∴ON=OM=t，

∴S=．

（3）如图2，

∵B（-1，0），C（0，2），

∴直线BC的斜率为2，

∵OO′∥BC，

∴直线OO′的解析式为y=2x，

设O′（m，2m），

∵O′N=ON=t，

∴O′N2=m2+（2m-t）2=（）2，

∴t=m，

∴O′C2=m2+（2-2m）2，

∵OB=O′C，

∴m2+（2-2m）2=（-1）2，

解得m1=1，m2=，

∴O′（1，2）或（，），

∵C（0，2），

∴当O′（1，2）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形，此时t=，

当O′（，）时，以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形，此时t=．

考点：二次函数综合题．