Question

已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．

（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

Answer

(1) AD=A′D．证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）60°．

【解析】

试题分析：（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．

（2）易证∠BCC′=∠BAA′，从而证到△BOC∽△DOA，进而证到△BOD∽△COA，由相似三角形的性质可得∠ADO=CBO，∠BDO=∠CAO，由∠ACB=90°就可证到∠ADB=90°，由BA=BA′就可得到AD=A′D．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．

试题解析：（1）AD=A′D．

证明：如图1，

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，

∴BC=BC′，BA=BA′．

∵∠A′BC′=∠ABC=60°，

∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．

∴∠BAA′=∠BC′C=60°．

∵∠A′C′B=90°，

∴∠DC′A′=30°．

∵∠AC′D=∠BC′C=60°，

∴∠ADC′=60°．

∴∠DA′C′=30°．

∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．

∴AD=DC′，DC′=DA′．

∴AD=A′D．

（2）AD=A′D

证明：连接BD，如图2，

由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．

∴．

∴△BCC′∽△BAA′．

∴∠BCC′=∠BAA′．

∵∠BOC=∠DOA，

∴△BOC∽△DOA．

∴∠ADO=∠OBC，．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA．

∴∠BDO=∠CAO．

∵∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°．

∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．

∵BA=BA′，∠ADB=90°，

∴AD=A′D．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，

则有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°．

在Rt△ACB和Rt△AC′B中，

．

∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．

∴∠ABC=∠ABC′=60°．

∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．

考点：1.几何变换综合题；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰三角形的性质；4.等边三角形的判定与性质；5.旋转的性质；6.相似三角形的判定与性质．