Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

Answer

（1），（﹣1，4）；（2）（﹣3＜x＜﹣1），；（3）（，），点P′不在该抛物线上．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可设交点式，将点C的坐标代入求得a，b，c，进而得解析式，化为项点式可求顶点D．

（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．

（3）由最值时，P（，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，

∴可设抛物线解析式为．

∵点C（0，3）在抛物线，∴，解得．

∴抛物线的函数解析式为：，即．

∵

∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．

（2）设直线AD为解析式为，

∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴ ，解得．

∴直线AD解析式：y=2x+6．

∵P在AD上，∴P（x，2x+6），

∴（﹣3＜x＜﹣1）．

∵，

当时，S取最大值．

（3）如图，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=．

∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN．

∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE．

∴EN=FN．

设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，∵，∴m=．

∵，

∴，解得．

在Rt△EMP′中，∵，∴OM=EO﹣EM=．

∴P′（，）．

∵当x=时，，

∴点P′不在该抛物线上．

考点：1．二次函数综合题；2．折叠问题；3．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．二次函数的性质；5．由实际问题列函数关系式；6．折叠对称的性质；7．勾股定理．