Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可．

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积根据转换思想，由即可得出答案．

试题解析：【解析】
（1）证明：如答图，连接OC，交BD于E，

∵∠B和∠COD是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠COD=2∠B．

∵∠B=30°，∴∠COD=60°．

∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC．∴AC是⊙O的切线．

（2）∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°．

∵BD=，∴．

∵在Rt△ODE中，，∴OD=2．

∵在Rt△ACO中，， ∴AC=．

∴．

考点：1．圆周角定理；2．三角形内角和定理；3．切线的判定；4．平行线的性质；5．垂径定理；6．锐角三角函数定义；7．特殊角的三角函数值；8．扇形面积和三角形面积的计算；9．转换思想的应用．