Question

如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）在（2）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

Answer

（1），（2，﹣8）；（2）3＜m＜8；（3）存在，①当3＜m＜时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形，②当m=时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形，③当＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；

（2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定点P的坐标，然后求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后确定m的取值范围即可．

（3）∵A（0，﹣6），B（﹣2，0），

∴线段AB的中点坐标为（﹣1，﹣3），直线AB的解析式为y=﹣3x﹣6．

∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：．

联立，消去y，得，即．

由解得．

∴①当3＜m＜时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；

②当m=时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；

③当＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．

试题解析：【解析】
（1）∵A（0，﹣6），B（﹣2，0）在上，

∴ ，解得：．

∴此抛物线的函数关系式为．

∵，∴顶点坐标为（2，﹣8）．

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，

∴P（1，﹣8+m），

在抛物线中易得C（6，0），∴直线AC为y2=x﹣6．

当x=1时，y2=﹣5，∴﹣5＜﹣8+m＜0，解得：3＜m＜8．

（3）存在．

①当3＜m＜时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；

②当m=时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；

③当＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．

考点：1．二次函数综合题；2．线动平移和等腰三角形存在性问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．二次函数的性质；6．一元二次方程根的判别式；7．解一元一次不等式组；8．分类思想的应用．