Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）28．

【解析】

试题分析：（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行的判定得到四边形ADCF是菱形．

（2）利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．

试题解析：【解析】
（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF．

∴四边形ADCF是平行四边形．

∵D、E分别为AB，AC边上的中点，

∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC．

∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°．∴DF⊥AC．

∴四边形ADCF是菱形．

（2）在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10．

∵D是AB边上的中点，∴AD=5．

∵四边形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5．

∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．

考点：1．面动旋转问题；2．菱形的判定和性质；3．旋转的性质；4．三角形中位线的判定和性质；4．平行的性质；5．勾股定理．