Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．

（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer

（1）二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6；

（2）函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），点D的坐标为（6，0）；

（3）△BDE的面积为7.5．

（4）存在，P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式；

（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标；

（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积；

（4）设点P到x轴的距离为h，由S△ADP=S△BCD求出h的值，根据h的正，负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标．

试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）

∴，解得

∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6；

（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，

∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），

∵点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，

又∵点A（2，0），对称轴为x=4，

∴点D的坐标为（6，0）；

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．

∴C点的坐标为（4，0）

∵B（8，6），

设BC所在的直线解析式为y=kx+b，

∴解得

∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，

∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，

∴x﹣6=x2﹣4x+6

解得x1=3，x2=8（舍去），

当x=3时，y=﹣3，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

设点P到x轴的距离为h，

∵S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h，

∵S△ADP=S△BCD

∴2h=6×，解得h=，

当P在x轴上方时，

=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，

当当P在x轴下方时，

﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，

∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．

考点：二次函数综合题．