Question

如图，已知抛物线图象经过A（-1，0），B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

①求证：四边形DECF是矩形；

②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)；（2）①证明见解析；②2.

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法即可求得；

（2）把C（m，m-1）代入求得点C的坐标，从而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根据，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH，因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形，进而求得DECF是矩形；

（3）根据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2；

试题解析：（1）∵抛物线图象经过A（-1，0），B（4，0）两点，

∴根据题意，得，解得，

所以抛物线的解析式为：；

（2）①证明：∵把C（m，m-1）代入得

∴，

解得：m=3或m=-2，

∵C（m，m-1）位于第一象限，

∴，

∴m＞1，

∴m=-2舍去，

∴m=3，

∴点C坐标为（3，2），

由A（-1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5

过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，

∵，∠AHC=∠BHC=90°

∴△AHC∽△CHB，

∴∠ACH=∠CBH，

∵∠CBH+∠BCH=90°

∴∠ACH+∠BCH=90°

∴∠ACB=90°，

∵DE∥BC，DF∥AC，

∴四边形DECF是平行四边形，

∴DECF是矩形；

②存在；

连接CD

∵四边形DECF是矩形，

∴EF=CD，

当CD⊥AB时，CD的值最小，

∵C（3，2），

∴DC的最小值是2，

∴EF的最小值是2；

考点：二次函数综合题．