Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；

（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线为y=-x2+x+4．（2）M的坐标为（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．（3）点P的坐标为（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．

【解析】

试题分析：（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得．

（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，-x2+x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．

（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-2，0），

∴0=4a-2b+4，

∵对称轴是x=3，

∴-=3，即6a+b=0，

两关于a、b的方程联立解得 a=-，b=，

∴抛物线为y=-x2+x+4．

（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，

∴BC=MN．

①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．

设M（x，-x2+x+4），则N（x+2，-x2+x），

∵N在x轴上，

∴-x2+x=0，

解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，

∴xM=6，

∴M（6，4）．

②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．

设M（x，- x2+x+4），则N（x-2，-x2+x+8），

∵N在x轴上，

∴-x2+x+8=0，

解得 x=3-，或x=3+，

∴xM=3-，或3+．

∴M（3-，-4）或（3+，-4）

综上所述，M的坐标为（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．

（3）∵OC=4，OB=3，

∴BC=5．

如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，

∵D在x轴上，

∴D为（-2，0）或（8，0）．

①当D为（-2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，

此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD，

∵BC=BD，

∴E为CD的中点，即E（-1，2），

设过E（-1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，

解得，

∴BE：y=-x+．

设P（x，y），则有，

解得 ，或，

则P1（4+，），P2（4-，）．

②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，

此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD，

∵BC=BD，

∴F为CD的中点，即E（4，2），

设过E（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，

解得 ，

∴BF：y=2x-6．

设P（x，y），则有，

解得 或 ，

则P3（-1+，-8+2），P4（-1-，-8-2）．

综上所述，点P的坐标为（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．

【考点】二次函数综合题．