Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．

（1）求a，b，c的值；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M（x₁，0），N（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

Answer

（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．

【解析】

试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；

（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与 x2比较得出答案即可；

（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，

∴抛物线的一般式为：y=ax2，

∴=a（）2，

解得：a=±，

∵图象开口向上，∴a=，

∴抛物线解析式为：y=x2，

故a=，b=c=0；

（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，

又∵y=x2，则r=，

化简得：r=＞x2，

∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设P（a，a2），∵PA=，

作PH⊥MN于H，则PM=PN=，

又∵PH=a2，

则MH=NH==2，

故MN=4，

∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），

又∵A（0，2），∴AM=，AN=，

当AM=AN时，=，

解得：a=0，

当AM=MN时，=4，

解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；

当AN=MN时，=4，

解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；

综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．

考点：二次函数综合题．