Question

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若二次函数y=ax²+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且满足﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，令t=b²﹣2b+，试求出t的取值范围．

Answer

（1）y=；（2）当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）t＞．

【解析】

试题分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可；

（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1•x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．

试题解析：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，

∴m=2，

∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，

∴n=2×2=4，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），

则有x=3kx+s﹣1，

整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，

当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；

当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；

当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；

综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），

∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，

∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，

∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，

∴x1+x2=，x1•x2=，

∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4×==4，

∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，

∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．

∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，

∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，

∴﹣4＜x2＜4，

∴﹣8＜x1•x2＜8，

∴﹣8＜＜8，

∵a＞0，

∴a＞

∴（2a+1）2+＞+=，

∴t＞．

考点：二次函数综合题．