Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；

（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+x+2；（2）当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大；（3）存在，点G的坐标为（）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得.

（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值.

（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．

∴， 解得.

∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+m，将B（2，0）、C（0，2）代入得：

，解得.

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如答图1，连接BC．

四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．

设P（x，﹣x2+x+2），

过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，﹣x+2）．

∴PF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x．

S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF

∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1

∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．

∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．

（3）存在．

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED.

又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE.

∴，即，解得AE=.

∴E（，0）．

∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D（，1）．

可求得直线DE的解析式为：①．

∵，∴M（）．

又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为： ②．

∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．

如答图2，连接AM，与DE交于点G，

此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．

联立①②式，可求得交点G的坐标为（）．

∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（）．

考点：1.二次函数综合题；2.单击动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.线段垂直平分线的性质；7.轴对称的应用（最短线路问题）.