Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

Answer

（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.

【解析】

试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.

（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.

（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．

试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm

∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.

（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm

∴t=s=3s．

（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，

则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1

∴BM=cm.∴t=s.

当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，

设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，

∵AD=AH+DH=x+x=x=4，

∴x=3．

当≤t≤4时，SMNGN=1cm2．

当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2

∴S关于t的函数关系式为：.

（3）分两种情况：

①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm

∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s

故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；

②当DC=PC时，DC=PC=12cm

∴NC=6cm

∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm

∴t=（15﹣6）s

故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．

综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．

考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.