Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．

（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；

（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；

（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

Answer

(1)A（2，0），B（1，0）；(2)∠ACB=90°；

(3)①当AC=BC时，n=﹣2；

②当AC=AB时，n=﹣；

③当BC=AB时，当n＞0时，n=，当n＜0时，n=﹣．

【解析】

试题分析：

（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．

（2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．

（3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．

试题解析：

【解析】
（1）∵y=x2﹣(m+n)x+mn=（x﹣m)(x﹣n），

∴x=m或x=n时，y都为0，

∵m＞n，且点A位于点B的右侧，

∴A（m，0），B（n，0）．

∵m=2，n=1，

∴A（2，0），B（1，0）．

（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），

∴﹣1=mn，

∴n=﹣，

∵B（n，0），

∴B（﹣，0）．

∵AO=m，BO=﹣，CO=1

∴AC==，

BC==，

AB=AO+BO=m﹣，

∵（m﹣）2=（）2+（）2，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°．

（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，

∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．

∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，

∴AC==，

BC==|n|，

AB=xA﹣xB=2﹣n．

①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；

②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；

③当BC=AB时，|n|=2﹣n，

当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，

当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．

考点：二次函数综合题