Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？

Answer

（1）y= mx2+2mx﹣3m；（2）S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为；（3）当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．

【解析】

试题分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式．

（2）如答图1，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值．

（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），

∴可设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．

将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴a = m备．

∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．

（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，则有

，解得．

∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣6．

如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，

则F（x，﹣2x﹣6）．

∴．

∴S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA．

∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．

（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．

如答图2，过点D作DM⊥x轴于点M，则DM=4m，OM=1，AM=OA﹣OM=2；

过点D作DN⊥y轴于点N，则DN=1，CN=ON﹣OC=4m﹣3m=m．

由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CN2+DN2=m2+1；AD2=DM2+AM2=16m2+4．

∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，

∴△ACD必为直角三角形．

i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，

即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，

整理得：m2=﹣．∴此种情形不存在．

ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，

即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2=，

∵m＞0，∴m=．

此时，可求得△ACD的三边长为：，

△BOC的三边长为：，

∴两个三角形对应边不成比例，不可能相似．∴此种情形不存在．

iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，

即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，整理得：m2=1，

∵m＞0，∴m=1．

此时，可求得△ACD的三边长为：，

△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=．

∵，∴满足两个三角形相似的条件．

∴m=1．

综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．

考点：1．二次函数综合题；2．单动点问题；3待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．二次函数的性质；6．由实际问题列函数关系式；7．勾股定理；8．相似三角形的判定；9．分类思想、转换思想和数形结合思想的应用．