Question

将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；

（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．

Answer

（1）120°；（2）的值不随着α的变化而变化，是定值．

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解．

（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得为定值．

试题解析：【解析】
（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°．

∵点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB．∴∠ACD=∠A=30°．

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°．

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°．

（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°．∴∠PDM=∠CDN．

∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形．∴∠BCD=60°．

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD．

在△DPM和△DCN中，∵∠PDM=∠CDN，∠CPD=∠BCD，

∴△DPM∽△DCN．∴．

∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．

考点：1．面动旋转问题；2．旋转的性质；3．直角三角形斜边上中线的性质；4．等腰（边）三角形的判定和性质；5．三角形外角性质；6．相似三角形的判定和性质；7．锐角三角函数定义；8．特殊角的三角函数值．