Question

已知二次函数y=﹣x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，

（1）求二次函数解析式；

（2）若=，求k；

（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．

Answer

（1）二次函数解析式:y=﹣x2+4x．

（2）k=﹣1．

（3）k=﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据对称轴为x==2，且函数过（0，0），则可得出b，c，从而得到函数解析式．

（2）=，而且这两个三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．

（3）以BC为直径的圆经过原点，易得∠BOC=90°，由（2）可发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．由此构造方程即可得k值．

试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，

∴﹣=2，0=0+0+c，

∴b=4，c=0，

∴y=﹣x2+4x．

（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∵=，

∴=，

∴=，

∵EB//FC，

∴==．

∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，

∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，

∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，

∴x=，或x=，

∵xB＜xC，

∴EB=xB=，FC=xC=，

∴4•=，

解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．

∴k=﹣1．

（3）∵∠BOC=90°，

∴∠EOB+∠FOC=90°，

∵∠EOB+∠EBO=90°，

∴∠EBO=∠FOC，

∵∠BEO=∠OFC=90°，

∴△EBO∽△FOC，

∴，

∴EB•FC=EO•FO．

∵xB=，xC=，且B、C过y=kx+4，

∴yB=k•+4，yC=k•+4，

∴EO=yB=k•+4，OF=﹣yC=﹣k•﹣4，

∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），

整理得 16k=﹣20，

∴k=﹣．

考点：1、函数图象交点的性质；2、相似三角形性质；3、一元二次方程；4、圆周角定理