Question

如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；

（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；

（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．

Answer

（1）．（2）0°≤α≤60°．（3）

【解析】

试题分析：（1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．

（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．

（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值．

试题解析：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．

∵AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AB．

∴∠OAB=90°．

∵OQ=QB=1，

∴OA=1．

∴AB=．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=，∠CAB=60°．

∵sin∠HAB=，

∴HB=AB•sin∠HAB

=．

∴S△ABC=AC•BH

=．

∴△ABC的面积为．

（2）①当点A与点Q重合时，

线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；

②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，

线段A1B与圆O只有一个公共点，

此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，

∴cos∠A1OB=．

∴∠A1OB=60°．

∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，

α的范围为：0°≤α≤60°．

（3）连接MQ，如图3所示．

∵PQ是⊙O的直径，

∴∠PMQ=90°．

∵OA⊥PM，

∴∠PDO=90°．

∴∠PDO=∠PMQ．

∴△PDO∽△PMQ．

∴

∵PO=OQ=PQ．

∴PD=PM，OD=MQ．

同理：MQ=AO，BM=AB．

∵AO=1，

∴MQ=．

∴OD=．

∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，

∴PD=．

∴PM=．

∴DM=．

∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，

∴AM=．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．

∵BM=AB，

∴AM=BM．

∴CM⊥AB．

∵AM=，

∴BM=，AB=．

∴AC=．

∴CM=．

∴CM的长度为．

考点：圆的综合题.