Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．

（1）求证：△ACE≌△AFE；

（2）求tan∠CAE的值．

Answer

（1）证明见解析 （2）tan∠CAE=

【解析】

试题分析：（1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等．

（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tan∠B=，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE=.

试题解析：（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，

∴CE=EF，

在Rt△ACE与Rt△AFE中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△AFE；

（2）【解析】
由（1）可知△ACE≌△AFE，

∴AC=AF，CE=EF，

设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，

∴BC=，

∴在RT△ABC中，tan∠B=，

在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=，

∴CE=EF=，

在RT△ACE中，tan∠CAE=；

∴tan∠CAE=．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.锐角三角函数的定义