Question

如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？

（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；

（2）S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；

（3）存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（，）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；

（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．

试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得：

，解得．

∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；

（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．

∵OB是平行四边形OEBF的对角线，

∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，

∵S=﹣（x﹣3）2+

∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；

（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，

∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，

∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，

此时点F坐标为（，）．

考点：二次函数综合题．