Question

如图，抛物线y=x²+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，c），且满足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

(1)抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

(2)能, 点P的坐标是（，﹣），（，﹣）

【解析】

试题分析：

（1）利用根与系数的关系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．

（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．

试题解析：

解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，

∵x1+x2+x1x2=7，

∴（x1+x2)2﹣x1x2=7，

∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，

即m2﹣m﹣6=0，

解得m1=﹣2，m2=3，

∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意

∴m=﹣2

抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）能

如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．

若∠POC=∠PCO

则PD应是线段OC的垂直平分线

∵C的坐标为（0，﹣3）

∴D的坐标为（0，﹣）

∴P的纵坐标应是﹣

令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=

因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）

考点：二次函数综合题．