Question

如图，已知直线AB：与抛物线交于A、B两点，

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；

（2）当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离.

Answer

（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1， ）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．

（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．

（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．

试题解析：（1）∵当x=-2时，,

∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）．

∴点C的坐标为（-2，4）．

（2）∵，

∴直线AB的解析式为．

联立 ，解得： 或．

∴点A的坐标为（-3，），点B的坐标为（2，2）．

如答图1，过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．

∴．

∵点P在直线AB下方，∴.

∵，

∴，

整理得：，解得：．

当时，．此时点P的坐标为（-2，2）．

当a=1时，．此时点P的坐标为（1， ）．

∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1， ）．

（3）如答图2，过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．

∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．

∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．

设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，

则点A、B、D的纵坐标分别为，

∴．

∴，化简得：．

∵点A、B是直线AB：与抛物线交点，

∴m、n是方程即两根．∴．

∴，即，即.

∴（舍）．

∴定点D的坐标为（2，2）．

如答图3，过点D作x轴的平行线DG，

过点C作CG⊥DG，垂足为G，

∵点C（-2，4），点D（2，2），∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．

∵CG⊥DG，∴．

过点D作DH⊥AB，垂足为H，如答图3所示，

∴DH≤DC．∴DH≤．

∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，

点D到直线AB的距离最大，最大值为 ．

∴点D到直线AB的最大距离为．

考点：1.二次函数综合题；2. 因式分解法解一元二次方程；3.根与系数的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质；6.分类思想的应用．