Question

如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为(O，2)，直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．

（1）当时，求S的值．

（2）求S关于的函数解析式．

（3）①若S＝时，求的值；

  ②当m＞2时，设，猜想k与m的数量关系并证明．

Answer

（1）；（2）；（3）①；②，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标与方程的关系，求出点A的坐标，根据△ABE∽△CBO求出CO的长，从而根据轴对称的性质求出DO的长，进而求出△BED的面积S．

（2）分和两种情况讨论.

（3）①连接AD，由△BED的面积为求出现，得到点A 的坐标，应用待定系数法，设

得到，从而.

②连接AD，应用待定系数法，设得到，从而得到，因此.

得到，从而

试题解析：（1）∵点A是抛物线上的一个动点，AE⊥y轴于点E，且，

∴点A的坐标为. ∴当时，点A的坐标为.

∵点B的坐标为，∴BE=OE=1.

∵AE⊥y轴，∴AE∥x轴. ∴△ABE∽△CBO.∴，即，解得.

∵点D与点C关于y轴对称，∴.

∴.

（2）①当时，如图，

∵点D与点C关于y轴对称，∴△DBO≌△CBO.

∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO .∴.∴

∴.

②当时，如图，同①可得

综上所述，S关于的函数解析式.

（3）①如图，连接AD，

∵△BED的面积为，∴.∴点A 的坐标为.

设，∴.

∴.

∴.

②k与m的数量关系为，证明如下：

连接AD，则

∵，∴.

∴.

∵点A 的坐标为，∴.

考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.轴对称的性质；6.分类思想和待定系数法的应用.