Question

已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF．

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，从而∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，由AAS可证得△DOE≌△BOF.

（2）由△DOE≌△BOF，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由∠DOE=90°可得EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，

∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.

∴△DOE≌△BOF（AAS）.

（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由如下：

∵△DOE≌△BOF，∴DE=BF.

又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.

∵∠DOE=90°，∴EF⊥BD.

∴BEDF是菱形．

考点：1.平行四边形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.菱形的判定.