Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动。以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为秒.

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.

①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的的值；

②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.

Answer

（1），（，0）；（2）证明见解析；（3）①1，，，5；②＜S≤或＜S≤20．

【解析】

试题分析：（1）由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标.

（2）连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．

（3）①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解，

当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解

第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解，

②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围，

当1≤t＜时，S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，

∵t=在1≤t＜范围内，∴＜S≤.

当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，∴＜S≤20．

试题解析：【解析】
（1）∵OB=6，C是OB的中点，∴BC=OB=3.

∴2t=3，即t=.

∴OE=，E（，0）.

（2）证明：如答图1，连接CD交OP于点G，

在PCOD中，CG=DG，OG=PG，

∵AO=PO，∴AG=EG .

∴四边形ADEC是平行四边形．

（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，

第一种情况：如答图2，当点M在CE边上时，

∵MF∥OC，∴△EMF∽△ECO.

∴，即，解得t=1.

第二种情况：如答图3，当点N在DE边时，

∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD.

∴即，解得t=.

（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，

第一种情况：如答图4，当点M在DE边上时，

∵MF∥PD，∴EMF∽△EDP.

∴即，解得t=.

第二种情况：如答图5，当点N在CE边上时，

∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC.

∴即，解得t=5.

综上所述，所有满足条件的t的值为1，，，5.

②＜S≤或＜S≤20．

考点：1.双动点问题；2.平行四边形的判定；3.相似三角形的判定和性质；4.二次函数的性质；5.分类思想的应用.