Question

如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB，⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线相交于另一点F，且EG：EF=.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是        .

Answer

12或4.

【解析】

试题分析：如答图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，连接OE，∴EN=NF，

又∵EG：EF=，∴EG：EN=，

又∵GN=AD=8，∴设EN=k，则，根据勾股定理得：.

解得：k =4.∴EN=4，.

设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2，即：r2=16+（8﹣r）2，解得：r=5．

∵∠GEB为锐角，∴点F在点E的右边，分两种情况：

①当边BC所在的直线与⊙O相切于点K时，如答图1，连接OK.∴OK=NB=5.∴EB=9，

又AE=AB，∴AB=12．

②当边AD所在的直线与⊙O相切于点Q时，如答图2，连接OQ。∴OQ=AN=5.∴AE=1.

又AE=AB，∴AB=4．

综上所述，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是12或4.

考点：1.矩形的性质；2.切线的性质；3.勾股定理；4.垂径定理；5.分类思想的应用.